二年级趣味数学——时代的迷雾

　　1858年，英国文物收藏家亨利。兰德在埃及的卢克索城买到一部草片文书。这部书现在是使我们有可能判断古代埃及数学知识情况的主要史料之一。兰德是这部书的第一位欧洲收藏者，现在举世都称为兰德纸草书。从草片文书用僧侣文字写成的原文可以断定，这部书是拉乌斯法老王朝的宫廷文书阿默斯于公元前1800年左右写成的。埃及历史上这一时期称为中王朝。根据书中记载，它的原本可能是属于更早的埃及古王朝时期（公元前2700年左右）的一部更加古老的草片文书。

　　这部草片文书是一幅长5。25米，宽0。33米的草片纸带。在我们看来，它不象是专题论文，也不是今天所说的教科书，而很可能是一本学生的笔记本，虔诚的学生把老师的讲述给他的所有知识都分毫不差地记在本子上，甚至包括许多错误在内。

　　除了现在收藏在不列巅博物馆的兰德纸草书之外，还有收藏在普希金图书馆的莫斯科草片文书。莫斯科草片文书和兰德纸草书一样，也是长条形的，但前者的长度是后者的四倍。另外还有几部数学的草片文书，但这些文书内容都不如上面的两部出名。

　　通过草片文书，神殿墙壁上的题字和墓志铭，以及各种建筑物的铭文，使我们可以对埃及的数学知识有所了解。

　　埃及的数学有自己的特点，和现代数学有许多不同，但就当时的水平来说，已经是相当高的了。举个例子说，埃及人已经会解一元一次方程。不过，不要以为就是我们今天的有系数，有符号的方程。当时还没有任何符号系统，没有等号，没有0。之所以称其为方程，是因为它完全用语言叙述的运算序列，如果翻译成今天的语言，正好就是方程。例如，我们研究方程

　　8x=19

　　解出这个方程，得到x=19/8。于是，需要用一个数去除另一个数。埃及人作了这个除法，而且除的相当特别。他们把除数8加倍，以便得到一个小於19，如果再加倍就大于19的一个数，然后逐次二等分，直到得出一个单位数1为止。这样的单位数在我们的例子中是一定能够得到的，因为除数8是2的三次幂。这可以表示成如下的形式：

　　8----1

　　16----2

　　4----1/2

　　2----1/4

　　1----1/8

　　在左边的数中，我们能得到其和为19的数，就是16+2+1=19，将16，2，1所对应的右边的数加在一起，就是解答：

　　x=2+1/4+1/8

　　这样的除法称为双轨程序。

　　在除数不是2的幂这种情况下怎么办呢？譬如，33/7，仍然利用双轨程序，把除数7加倍使其尽可能大的倍数小于33，得到33=4x7+5，把5写成2x2+1，推出5/7=2x2/7+1/7，对于2/7这样的数来说，有专门的展开的表。我们至今还不知道古代埃及人是怎样得出这些表的。寻找这些表组成的规律的一切尝试都没有成功。根据这些表，2/7=1/4+1/28，这必须分解为一些分子等于1的分数，这样的分数叫做单位分数。埃及人没有有理数的一般概念，他们把分子为1的分数看作是从中选取相应部分的对象的一种特殊性质。于是：

　　5/7=2x（1/4+1/28）+1/7=1/2+1/7+1/14

　　最后，得到：33/7=4+1/2+1/7+1/14

　　埃及人还会计算圆的面积。他们相当出色地选取了π的近似值：π≈√10=3。1605这是一个巨大的成就，因为他们同时代的巴比伦人取π等于3，这太不精确了。但是，埃及人通过取对边和的一半相乘来求任意四边形的面积，这也是很不精确的。其实，当时巴比伦人和埃及人相差的并不远。

　　令人感到意外的是，埃及人能够完全精确地计算平截头棱锥体的体积。这是非常令人吃惊的，因为这种计算需要达到的数学水平比埃及人当时的水平还要高。后来的希腊人经过漫长的时间才达到了这个水平。

　　其实，希腊人自身对埃及的数学知识的影响很深，他们经常到埃及去研究数学，以至于把埃及看作为几何学的诞生地。我们知道，其中埃及人从希腊人那里获得了毕达格拉斯定理的概念，尽管在我们所知道的埃及文献中连埃及人知道这个定理的一点暗示都没有。阿默斯在他的草片文书中的任何地方都没有谈到这一点。

　　根据希腊作者的叙述，在埃及专门有一种测量土地的人，在希腊人的说法中，测量土地的工具有“拖绳“或“拉绳“的意思。这些绳子大概是用来做直角的，绳子用结扣分成12等分。如果由这些等分组成一个各边边长分别为3，4，5等分的三角形，那么3等分和4等分的两边所夹的角就是直角（符合毕达格拉斯逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，则三角形是直角三角形。）

　　埃及人运用的所有的数学法则都带有极端的经验主义的性质，这些法则既没有任何定理，也没有任何证明。

　　但是，尽管埃及数学带有如此原始的性质，它却赋予现代科学后来的发展以极为有益的影响。勤劳的埃及人，在自己千百年的历史中积累了丰富的数学知识，后来的数学如果不利用这些知识就不会取得成就。可以毫不夸张地说，假如没有埃及的数学，就没有后来的希腊的数学。

　　希腊数学和历史舞台上希腊人以前的数学究竟有什么同呢？不同点很多，其中最主要的有两点：

　　1。希腊人赋予数学真理以我们当代数学所拥有的最抽象的性质。

　　2。希腊人把数学证明的思想引入数学。

　　究竟是谁居于这种数学的源头呢？欲知详情，请听下回分解。