已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。

　　解：设这两个自然数分别为a与b，且a＞b，a＝da1，b=db1，（a1，b1）＝1。

　　因为a-b=4，所以da1-db1=4，于是有d×（a1-b1）=4，因此d为4的约数。

　　因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以d×da1b1＝252，于是有d2×a1b1=（2×3）2×7，因此d为2×3的约数。

　　故d为4与2×3的公约数。

　　由于（4，2×3）＝2，2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。

　　如果d=1，由d×（a1-b1）=4，有a1-b1=4；又由d2×a1b1=252，有a1b1=252。

　　252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1×252=4×63=7×36＝9×28，但是252-1＝251≠4，63-4＝59≠4，36-7=29≠4，28-9＝19≠4，所以d≠1。

　　如果d=2，由d×（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2×a1b1＝252，有a1b1=63。

　　63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63＝1×63=7×9，但63-1＝62≠2，而9-7＝2，且（9，7）=1，所以d=2，并且a1＝9，b1＝7。

　　因此a=2×9＝18，b＝2×7＝14。

　　答：这两个数为18和14。

　　在例2～例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了a＜b），分别是由于：例2和例5，若a＝b，则（a，b）＝[a，b]＝a，与条件（a，b）≠[a，b]矛盾；例3，若a=b，则a＝b=（a，b）=5，因此a＋b＝10≠50，与条件矛盾；例4，a×b=240不是平方数。

　　从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为a、b，那么a=a1d，b＝b1d，其中d=（a，b），（a1，b1）＝1，因此[a，b]＝da1b1，有时为了确定起见，可设a≤b.对于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假设a＜b.